مشکلات مهندسی مدیریت اجراییجهت مطالعه و درک این مقاله می بایست خواننده به نسبیت انیشتن واقف بوده و معادلات تبدیل مختصات لورنتس را به خوبی فهمیده باشد .
به
اعتقاد بنده تمام ارزش قضایای نسبیت ، در ایجاد یک فکر واگراست و نه به
فرمول های انبساط زمان و یا طول . تمام بنیه فیزیکی و استدلالی معادلات
تبدیل مختصات ، بین دو مرجع s و s` که در راستای محور x ها دارای سرعت نسبی
ثابتی هستند ، از سنجیدن یک فاصله توسط حرکت نور و بار دیگر توسط ابزار
محاط در s و s` حاصل شده که عبارتند از :
x`= γ(x-vt)
y = y`
z = z`
γ = ۱/(√(۱-(v/c)^۲))
دو چهارچوب لخت s و s` را که در t = ۰ هم مبدا
بودند ، در نظر بگیرید . سپس مرجع s` شروع به حرکت با سرعت یکنواخت v می
کند و یک اتفاق یا ساده تر بگویم یک موقعیت یک نقطه ثابت ، در هر دو مختصات
s و s` مورد تحلیل واقع می شود . پارامتر های مرجع s ، بدون پریم و
پارامترهای مرجع s` ، با پریم خواهند آمد . شکل شماتیکی دو مرجع در زیر
آمده :
استدلال معادلات لورنتس از این قرار است :
چون V ثابت است ، استدلال شده که تبدیل مختصات در دو مرجع باید خطی باشد . یعنی :
x = αx`
y = αy`
z = αz`
و از آنجا که حرکت V بر روی مختصات y,z نقطه A در دو مرجع تاثیر نمیگذارد ، نتیجه شده :
y = y`
z = z`
پس برای x و x` دو رابطه به ترتیب زیر نوشته می شود :
( کتاب نسبیت خاص و عام و کیهان شناختی از ولفگانگ ریندلر )
نحوه بدست آمدن فرمول ها :
الف :
چون مرجع مختصات O` با سرعت V به طرف نقطه A حرکت
می کند ، در مختصات S بعد از گذشت زمان t مختصات اولیه نقطه A به اندازه Vt
کاهش می یابد ، که همان x` خواهد بود . و چون تبدیل مختصات بین دو مرجع ،
خطی است ، پس γ ضریبی است که برای تبدیل تناسب به روابط مساوی خطی استفاده
شده . و در جستجوی کشف مقدار آن هستیم .
فرمول یک
x`= γ(x-vt)
متقابلا چون در مرجع S` مانند این است که نقطه A با
سرعت یکنواخت V بطرف مبدا مختصات فرضی O` در حرکت است ، x` به اندازه Vt`
کاهش می یابد پس اگر t` از لحظه ای حساب شود که حرکت شروع شده مقدار x با
Vt`+ x` برابر خواهد بود . یعنی :
فرمول ۲
x = γ`(x`+ Vt`)
پس تا کنون دو فرمول داریم که یکی بر اساس S و دیگری بر اساس S` نوشته شده .
حال جهت محور ها را در X و X` عوض می کنیم و روابط زیر با همان استدلال بالا بدست می آید :
فرمول ۳ که با عوض کردن جهت از فرمول ۱ حاصل شده :
x` = γ(x+Vt)
و فرمول ۴ که با عوض کردن جهت از فرمول ۲ حاصل شده :
x = γ`(x`- Vt`)
حال گفته شده با معکوس کردن نقش ها میان S و S` رابطه زیر حاصل می شود :
( پارامتر های پریم دار ، بدون پریم شوند و بلعکس )
فرمول ۵ :
x = γ (x`- Vt`)
که از رابطه ۴ و ۵ نتیجه شده که :
γ = γ`
سپس یک بار هم مقادیر x و x` را با فرستادن یک علامت نوری از هر مبدا تا نقطه A و ضرب زمان در سرعت نور ، بدست می آید . یعنی :
x` = ct`
x = ct
t و t` هر کدام به ترتیب زمان لازم برای رسیدن نور از O و O` به نقطه A می باشند .
حال مقادیر x و x` را ، در فرمول های ۱ و ۲ جایگذاری می کند و روابط زیر حاصل می گردد :
رابطه ۶ ،که با جاگذاری ct به جای x و ct` به جای x` در فرمول ۱ ، حاصل شده :
ct` = γ(ct-Vt)
رابطه ۷ ،که با جاگذاری ct به جای x و ct` به جای x` در فرمول ۲ ، حاصل شده :
ct = γ(ct`-Vt`)
توجه شود که قبلا ثابت شده که γ = γ` به این دلیل در این فرمول ها γ`تکرار نشده .
با ضرب کردن دو رابطه ۶ و ۷ در یکدیگر مقدار γ بدست می آید :
γ = ۱/(√(۱-(v/c)^۲))
سپس γ را در فرمول های ۶ یا ۷ جایگذاری کرده و معادلاتی با نام تبدیل مختصات بین دو مرجع لخت حاصل شده .
تا کنون هر چه بود از کتاب یاد شده ذکر شده . این مقاله که رد این معادلات است از حالا شروع می شود :
صراحتا باید گفت در این استدلال و فرمول ها دو اشکال بزرگ و جود دارند . که حتی وجود یکی بر رد این معادلات کافی است .
توضیح اولین اشکال :
این اشتباه در جایی اتفاق افتاده که ثابت شده γ = γ` .
شرح :
پارامتر های مرجع S بدون پریم در نظر گرفته شدند
یعنی x,t و پارامتر های مرجع S` با پریم در نظر گرفته شدند ، یعنی t`,x` و
در ادامه اثبات دو معادله کاملا درست ۱ و ۲ نوشته شد .
با تاکید باید
بگویم که وقتی پارامتری جزو یک مرجع می باشد دارای خواص آن بوده و با عوض
شدن علامت اختصاری آن مرجع می توان برای تمامی پارامتر های آن مرجع نیز ،
همین کار را انجام داد . صراحتا باید گفت که پارامتر های γ و γ` جزو هیچ یک
از مرجع های S و S` نمی باشند .
پارامتر یک مرجع به متغییری اطلاغ می
توان کرد که در آن مرجع اندازه گیری شود . در حالی که ما γ و γ` را در خارج
از دو مرجع ، جهت ضریب تبدیل مختصات بکار بردیم .
لطفا توجه کنید :
γ ضریبی بود که برای تبدیل مختصات S به S` بکار بردیم و نوشتیم :
مختصات S = مختصات S` ضرب در عدد γ
γ` ضریبی بود که برای تبدیل مختصات S` به S بکار بردیم و نوشتیم :
مختصات S` = مختصات S ضرب در عدد γ`
در
اثباتی که منجر به نتیجه γ = γ` می شود ، در یک مرحله جای S و S` عوض شده و
پارامتر های وابسته نیز عوض شده ، در همین جاست که اشتباه رخ داده و γ به
γ` نیز مطابق دیگر پارامتر ها عوض شده و بلعکس .
به عبارت دیگر اگر مختصات S` مختصات را متحرک و مختصات S را مختصات ثابت بنامیم قبل از عوض کردن پریم ها خواهیم داشت :
روابط ۱ ، قبل از عوض کردن پریم ها :
مختصات متحرک * γ` = مختصات ثابت
مختصات ثابت * γ = مختصات متحرک
و حال بعد از عوض کردن پریم ها که به اشتباه پریم ضریب γ نیز تغییر کرده ، نتیجه می شود که:
روابط ۲ ، بعد از عوض کردن پریم ها :
مختصات متحرک * γ = مختصات ثابت
مختصات ثابت * γ` = مختصات متحرک
حال روابط ۱ و ۲ را مقایسه کنید
چه می یابید ؟
اینجا
کاملا مشخص می شود که پارامتر های ضریب تبدیل مختصات ( γ , γ` ) ، جزو
پارامتر های خود مرجع نمی باشند که با عوض کردن نام یک مرجع آنها هم تغییر
کنند .
همانطور که می بینید چطور امکان دارد با تغییر جهت مقدار ضریب تغییر کند ؟
برای اطمینان از حصول مطلب آخرین مثال زده می شود :
فرض
کنید مقادیر ( γ , γ` ) به ترتیب برای یک لحظه برابر اعداد ۲ و ۲/۱ باشند ،
یعنی نقطه ای داریم که در آن لحظه روابط زیر برقرارند البته برای حالت
اول( قبل از عوض کردن پریم )
مختصات متحرک * ۲/۱ = مختصات ثابت
مختصات ثابت * ۲ = مختصات متحرک
با عوض کردن پریم در حقیقت با حرکت در جهت عکس قبل ، به آن نقطه می رسیم و اگر بخواهیم اثبات را بپذیریم باید نوشت :
مختصات متحرک * ۲ = مختصات ثابت
مختصات ثابت * ۲/۱ = مختصات متحرک
چه
کسی باور می کند یک نقطه دارای مختصات متفاوتی باشد اگر جهت حرکت و رسیدن
به آن نقطه تغییر کند . جالب اینجاست که در فرمول های بالا مختصات ثابت در
هر دو حالت با هم برابر و مختصات متحرک نیز ، چطور امکان دارد یکبار یک عدد
را در ۲ ضرب کنیم و بار دیگر در ۲/۱ و هر دو بار عددی برابر بیاید ؟
به صراحت باید گفت که نه تنها γ = γ` نخواهد بود بلکه γ = ۱/ γ` رابطه صحیح می باشد
زیرا در هر لحظه داریم :
مختصات ثابت * γ = مختصات متحرک
و از همین رابطه داریم :
مختصات ثابت = مختصات متحرک * ۱/ γ
و باز در معادلات بالا داریم
مختصات متحرک * γ` = مختصات ثابت
چه ساده است که باید گفت :
γ`= ۱/ γ
برای آخرین بار و دور از هر فرمول می توان فهمید :
اگر
یک متغییر ۱ برای تبدیل به متغییر ۲ می بایست در عدد K ضرب شود پس می توان
گفت متغییر ۲ برای تبدیل به متغییر ۱ باید در عدد ۱/K ضرب شود .
متوجه
اولین اشکال معادلات لورنتس شدیم که یک اشتباه در منطق استدلال بود البته
همین یک مورد برای رد این معادلات کافی است . ولی اشتباه واضح دیگری هم هست
.
توضیح اشتباه دوم معادلات لورنتس :
بعد از پذیرفتن γ` = γ ( که نادرست است ) به جای x و
x` مقادیر ct و ct` گذارده می شود و γ را می یابد در ادامه مقاله ، جهت
بیان اشکال دوم γ = γ` فرض می کنیم .
در لحظه t = ۰ نقاط o و o` ( مراکز
دو مرجع مختصات ) بر هم منطبقند . مرجع s` با سرعت یکنواخت v شروع به حرکت
می کند و بعد از گذشت t ، در مختصات s و گذشت زمان t` در مختصات s` داریم :
x` = γ(x - vt)
x = γ(x`+ vt`)
اگر یک علامت نوری در هر لحظه از o و o` به طرف A
فرستاده شود و مقدار C ( سرعت نور ) را در t و t` ضرب کنیم ، فاصله نقطه A
از o و o` بدست می آید .
توجه مهم : در فرمول های بالا ما پارامتر های
هم نام با زمان حرکت نور داشتیم برای اینکه منظور بهتر بیان شود پارامتر
های زمان حرکت نور را که عبارتند از t و t` به صورت (t) و (t`) نشان داده
می شوند که با t و t` موجود از قبل در دو فرمول زیر اشتباه نشوند :
x` = γ(x - vt)
x = γ(x`+ vt`)
گفته شد که جهت اثبات اشکال دوم این معادلات γ` = γ
را که نادرست است ، قبول می کنیم ، حال مقادیر c(t) و c(t`) را به جای x و
x` جاگذاری می کنیم :
c(t`) = γ(x - vt)
c(t) = γ(x`+ vt)
اینک در اثبات این چنین آمده که طرفین دو رابطه فوق
را در هم ضرب کرده و پارامتر های t و t` و (t) و (t`) را از طرفین حذف شده
و مقدار γ را می یابد و با جاگذاری در فرمول ها ، معادلات تبدیل مختصات را
می یابد .
صراحتا و قاطع باید گفت که مقادیر t و (t) و نیز مقادیر t` و (t`) برابر نمی باشند که بتوان از طرفین معادله حذف شوند .
برای تفهیم بهتر به تعریف آنها که ابتدا بیان شد رجو می کنیم :
(t) : زمان لازم برای رسیدن نور از مبدا o به نقطه A در هر لحظه از مسیر
(t`) : زمان لازم برای رسیدن نور از مبدا o` به نقطه A در هر لحظه از مسیر
t : زمان طی شده از لحظه شروع حرکت در مرجع o
t` : زمان طی شده از لحظه حرکت در مرجع o`
اگر
ما برای زمان های طی شده در پیمایش نور تا نقطه A ، پارامتر های (t) و
(t`) را به همین شکل قرارداد نمی کردیم ، بسیار محتمل بود با مقادیر زمانی t
و t` در فرمول ها اشتباه کنیم و متوجه ایراد دوم این اثبات نشویم .
توضیح بیشتر :
مسلما متوجه شده اید که این چهار زمان با داشتن
تشابه نامی ، دارای مقادیر متفاوت می باشند زیرا اگر هم به فرض محال این
زمان ها دو به دو با هم مساوی باشند که بتوان در ظرب از طرفین حذف شوند ،
این حالت تنها برای یک نقطه از مسیر ممکن خواهد بود به نحوه تغییرات این
چهار پارامتر دقت کنید :
زمان های t و t` به دلیل سپری شدن زمان از لحظه
شروع حرکت ، مرتبا افزایش می یابند در صورتی که مقدار (t`) یعنی زمان لازم
برای رسیدن نور به نقطه A در مرجع o`به دلیل حرکت به طرف نقطه A ، مرتبا
کاهش می یابد و زمان (t) به دلیل ثابت بودن نقطه A نسبت به o ، همواره ثابت
است . چه کسی باور می کند این چها پارامتر در هر کجای مسیر دو به دو باهم
برابر باشند . علت وقوع این اشتباه در این معادلات همان مشابهت نامی بوده
که در ضرب حذف گردیده اند .
برای حصول توجیه کامل از دیدگاه دیگر بیان
می شود که فرض کنید مقادیر سرعت و فاصله ها در این دو مرجع ، دارای اعدادی
معقول باشند مانند :
V=۵m/s
Xa=۱۰m
و الی آخر و حال فرض کنید ۵/۱ ثانیه از زمان حرکت گذشته حال بیایید ببینیم مقادیر (t) و (t`) دارای چه مقادیری هستند :
خود
بگویید اگر نور با سرعت خود فاصله ۱۰m و یا کمتر را بپیماید ، برای مقادیر
(t) و (t`) چه حاصل خواهد شد اعدادی در حوالی نانوثانیه که لابد می توان
گفت این عدد با ۵/۱ ثانیه یا در حوالی آن برابر است ( همان مقادیر t و t` )
!!!!!
به زودی معادلات تبدیل مختصات در مقاله ای دیگر ارائه خواهد شد .
علامه طباطبایی
آکادمیست
واحد های اندازه گیری زاویه